Toda la valorización financiera descansa en una sola idea: un peso hoy no vale lo mismo que un peso mañana. Quien dispone de recursos hoy puede invertirlos, de modo que renunciar a ellos exige compensación. Esa compensación es la tasa de interés, y de ella se derivan todas las fórmulas que este tema exige dominar.
Bajo interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial: I = C · i · t. Bajo interés compuesto los intereses se incorporan al capital y generan a su vez nuevos intereses: VF = VP · (1 + i)n. La diferencia entre ambos regímenes crece de manera acelerada con el plazo, y explica por qué el mercado financiero razona casi siempre en términos compuestos.
Una tasa nominal anual con capitalizaciones dentro del año no equivale a la tasa efectivamente ganada. La tasa efectiva anual se obtiene mediante TEA = (1 + j/m)m − 1, donde j es la tasa nominal anual y m el número de capitalizaciones. Así, un 12 % nominal capitalizable mensualmente equivale a un 12,68 % efectivo anual.
La tasa real descuenta el efecto de la inflación mediante la relación de Fisher: (1 + nominal) = (1 + real) · (1 + inflación). La resta simple entre tasa nominal e inflación es sólo una aproximación, aceptable cuando ambas magnitudes son pequeñas. En Chile, la existencia de instrumentos denominados en unidades de fomento permite pactar directamente tasas reales.
El valor actual neto descuenta todos los flujos a la tasa exigida y les resta la inversión inicial: si el VAN es positivo, el proyecto crea valor. La tasa interna de retorno es aquella que hace el VAN igual a cero; una inversión conviene, en principio, cuando su TIR supera el costo de capital. La TIR tiene limitaciones conocidas —supone reinversión a la propia TIR y puede arrojar múltiples soluciones cuando los flujos cambian de signo más de una vez—, por lo que el VAN es el criterio de referencia.
El costo del patrimonio se estima habitualmente con el CAPM: E(R) = Rf + β · (E(Rm) − Rf). Combinado con el costo de la deuda después de impuestos, da el costo de capital promedio ponderado: WACC = (E/V) · Ke + (D/V) · Kd · (1 − t). Esa tasa se emplea para descontar los flujos de la empresa y, junto al modelo de Gordon —P = D₁ / (k − g)— y a los múltiplos, completa el instrumental de valorización que el examen evalúa.
La rentabilidad de una cartera es el promedio ponderado de las rentabilidades de sus componentes. Cuando se encadenan varios períodos, el retorno correcto es la media geométrica y no la aritmética: una ganancia de 20 % seguida de una pérdida de 10 % deja un acumulado de 8 %, no de 10 %. Y para comparar resultados ajustados por riesgo se emplean el índice de Sharpe —exceso de retorno sobre desviación estándar—, el índice de Treynor —exceso de retorno sobre beta— y el alfa de Jensen, que mide el retorno obtenido por encima del que predice el CAPM. En este tema no hay margen de interpretación: los números están bien o están mal.
1. ¿Por qué un peso hoy vale más que un peso dentro de un año?
El principio del valor del dinero en el tiempo se funda en el costo de oportunidad: disponer hoy de recursos permite invertirlos, de modo que postergar su recepción exige una compensación llamada tasa de interés. La inflación no es el fundamento: aunque fuera nula, el dinero seguiría teniendo un costo de oportunidad.
2. ¿Sobre qué base se calculan los intereses en el régimen de interés simple?
Bajo interés simple los intereses no se capitalizan: se calculan siempre sobre el capital original mediante I = C × i × t, a diferencia del interés compuesto. Las tres alternativas restantes describen bases de cálculo propias del interés compuesto o inexistentes.
3. Un capital de 4.000.000 de pesos se invierte a 6 % anual simple durante 6 meses. ¿Cuánto interés genera?
Aplicando I = C × i × t = 4.000.000 × 0,06 × 0,5 = 120.000 pesos, pues seis meses equivalen a medio año. La alternativa de 240.000 olvida que el plazo es medio año, y la de 60.000 toma un trimestre.
4. Un capital de 2.000.000 de pesos genera interés simple de 9 % anual durante 3 meses. ¿Cuál es el interés?
I = 2.000.000 × 0,09 × (3/12) = 2.000.000 × 0,09 × 0,25 = 45.000 pesos. 180.000 es el interés de un año completo y 15.000 el de un solo mes.
5. ¿Cuál es el valor futuro de 6.000.000 de pesos a 5 % anual simple durante 2 años?
VF = C(1 + i × t) = 6.000.000 × (1 + 0,05 × 2) = 6.000.000 × 1,10 = 6.600.000 pesos. Bajo interés compuesto serían 6.615.000. La alternativa de 6.300.000 corresponde a un único año de interés.
6. Un capital de 1.500.000 pesos rinde 0,4 % mensual simple durante 4 meses. ¿Cuánto interés genera?
I = 1.500.000 × 0,004 × 4 = 24.000 pesos. Bajo interés simple los intereses de cada mes no se capitalizan. La alternativa de 6.000 corresponde a un solo mes de intereses.
7. ¿Qué caracteriza al interés compuesto?
La capitalización es la esencia del interés compuesto y se expresa en VF = VP × (1 + i)^n. La diferencia respecto del interés simple crece de manera acelerada con el plazo. Sobre 1.000.000 a 5 % durante diez años, el interés simple entrega 1.500.000 y el compuesto 1.628.895.
8. ¿Cuál es el valor futuro de 1.000.000 de pesos a 5 % anual compuesto durante 3 años?
VF = 1.000.000 × (1,05)^3 = 1.000.000 × 1,157625 = 1.157.625 pesos. Bajo interés simple habrían sido 1.150.000, diferencia atribuible a la capitalización. Las alternativas de 1.125.000 y 1.160.000 no corresponden a ningún régimen: son cifras próximas que castigan el cálculo aproximado.
9. ¿Cuál es el valor futuro de 800.000 pesos a 12 % anual compuesto durante 2 años?
VF = 800.000 × (1,12)^2 = 800.000 × 1,2544 = 1.003.520 pesos. La alternativa de 992.000 es el resultado del interés simple (800.000 × 1,24), que ignora la capitalización del primer año.
10. ¿Cuál es el valor futuro de 2.000.000 de pesos a 10 % anual compuesto durante 3 años?
VF = 2.000.000 × (1,10)^3 = 2.000.000 × 1,331 = 2.662.000 pesos. 2.600.000 corresponde al interés simple; los 62.000 de diferencia son exactamente los intereses sobre intereses.
11. ¿Cuál es el valor futuro de 500.000 pesos a 6 % anual compuesto durante 5 años?
VF = 500.000 × (1,06)^5 = 500.000 × 1,338226 = 669.113 pesos aproximadamente. 650.000 es el resultado del interés simple; la capitalización aporta los 19.113 restantes.
12. Un capital de 3.000.000 de pesos se invierte a 7 % anual compuesto durante 4 años. ¿Cuál es su valor final?
VF = 3.000.000 × (1,07)^4 = 3.000.000 × 1,310796 = 3.932.388 pesos aproximadamente. 3.840.000 corresponde al interés simple a cuatro años (3.000.000 × 1,28).
13. ¿En cuántos años se duplica aproximadamente un capital invertido al 6 % anual compuesto?
Aplicando la regla del 72: 72 / 6 = 12 años. La comprobación exacta confirma que (1,06)^12 = 2,012, es decir algo más del doble del capital inicial. La misma regla da 9 años al 8 % y 6 años al 12 %, y funciona bien para tasas de entre 4 % y 15 %.
14. ¿Cómo se obtiene el valor presente de un flujo futuro?
El valor presente es VP = VF / (1 + i)^n. La operación es la inversa de la capitalización y constituye la base de toda valorización por descuento de flujos. Ambas operaciones se comprueban entre sí: 1.000.000 / (1,05)^3 = 863.838 y 863.838 × (1,05)^3 = 1.000.000.
15. ¿Cuál es el valor presente de 1.000.000 de pesos a recibir en 3 años, con una tasa de 5 %?
VP = 1.000.000 / (1,05)^3 = 1.000.000 / 1,157625 = 863.838 pesos aproximadamente. La alternativa de 1.157.625 es el error clásico: capitalizar en lugar de descontar.
16. ¿Cuál es el valor presente de 1.000.000 de pesos a recibir en 5 años, con una tasa de 10 %?
VP = 1.000.000 / (1,10)^5 = 1.000.000 / 1,61051 = 620.921 pesos aproximadamente. 909.091 corresponde a descontar un único año en lugar de cinco.
17. ¿Cuál es el valor presente de 3.000.000 de pesos a recibir en 2 años, con una tasa de 4 %?
VP = 3.000.000 / (1,04)^2 = 3.000.000 / 1,0816 = 2.773.669 pesos aproximadamente. 3.244.800 se obtiene capitalizando en vez de descontar.
18. ¿Cuál es el valor presente de 5.000.000 de pesos a recibir en 3 años, con una tasa de 6 %?
VP = 5.000.000 / (1,06)^3 = 5.000.000 / 1,191016 = 4.198.096 pesos aproximadamente. 4.716.981 resulta de descontar un solo año en lugar de tres.
19. ¿Qué ocurre con el valor presente de un flujo si aumenta la tasa de descuento?
Al elevar el denominador (1 + i)^n, el valor presente disminuye. Esta relación inversa explica la caída de precio de los bonos cuando suben las tasas de mercado. Con un flujo de 1.000.000 a tres años, pasar de 5 % a 8 % baja el valor presente de 863.838 a 793.832.
20. ¿Qué diferencia hay entre tasa nominal y tasa efectiva?
La tasa efectiva anual se obtiene mediante TEA = (1 + j/m)^m − 1, donde j es la nominal anual y m el número de capitalizaciones. Sólo coinciden cuando hay una única capitalización anual. Con m = 1 la fórmula devuelve la propia tasa nominal; con m = 12 y j = 12 % devuelve 12,68 %.
21. Una tasa nominal anual de 12 % capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva anual de:
TEA = (1 + 0,12/12)^12 − 1 = (1,01)^12 − 1 = 1,126825 − 1 = 0,126825, es decir 12,68 %. La alternativa de 12,55 % corresponde a capitalización trimestral y la de 1 % a la tasa mensual sin anualizar.
22. Una tasa nominal anual de 12 % capitalizable trimestralmente equivale a una tasa efectiva anual de:
TEA = (1 + 0,12/4)^4 − 1 = (1,03)^4 − 1 = 1,125509 − 1 = 0,125509, es decir 12,55 %. 12,68 % sería el resultado con capitalización mensual: a igual tasa nominal, más capitalizaciones dan mayor tasa efectiva.
23. Una tasa nominal anual de 8 % capitalizable semestralmente equivale a una tasa efectiva anual de:
TEA = (1 + 0,08/2)^2 − 1 = (1,04)^2 − 1 = 1,0816 − 1 = 0,0816, es decir 8,16 %. 8,24 % correspondería a capitalización trimestral y 4 % es la tasa semestral sin anualizar.
24. Una tasa nominal anual de 24 % capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva anual de:
TEA = (1 + 0,24/12)^12 − 1 = (1,02)^12 − 1 = 1,268242 − 1 = 0,268242, es decir 26,82 %. La alternativa de 24 % es la tasa nominal sin capitalizar y la de 2 % la tasa mensual aislada.
25. Una tasa mensual de 1 % equivale a una tasa efectiva anual de:
La tasa efectiva anual es (1,01)^12 − 1 = 1,126825 − 1 = 0,126825, es decir 12,68 %. La multiplicación simple por doce daría sólo 12 %, ignorando la capitalización. 13,20 % resultaría de sumar al 12 % un punto adicional, operación sin fundamento.
26. A igual tasa nominal, ¿qué ocurre con la tasa efectiva al aumentar la frecuencia de capitalización?
En TEA = (1 + j/m)^m − 1, un mayor número de capitalizaciones incrementa el resultado, pues los intereses se incorporan antes al capital y generan nuevos intereses. En el límite, con capitalización continua, un 12 % nominal converge a e^0,12 − 1 = 12,75 %.
27. ¿Qué relación vincula la tasa nominal, la tasa real y la inflación?
La relación de Fisher establece (1 + nominal) = (1 + real)(1 + inflación). La resta simple es sólo una aproximación válida cuando ambas magnitudes son pequeñas. Con 10 % nominal y 4 % de inflación la resta da 6 % y Fisher 5,77 %: la brecha crece con la magnitud de ambas tasas.
28. Con una tasa nominal de 10 % y una inflación de 4 %, ¿cuál es la tasa real aproximada?
Aplicando Fisher: (1 + real) = 1,10 / 1,04 = 1,057692, de modo que la tasa real es 5,77 %, algo inferior a la resta simple de 6 %. La alternativa de 14,4 % proviene de multiplicar 1,10 por 1,04 en lugar de dividir.
29. Con una tasa nominal de 7 % y una inflación de 3 %, ¿cuál es la tasa real?
(1 + real) = 1,07 / 1,03 = 1,038835, es decir una tasa real de 3,88 %. 10,21 % resulta de multiplicar en vez de dividir, y 4 % de la resta simple.
30. Un instrumento en unidades de fomento rinde 3 % real y la inflación del año fue 5 %. ¿Cuál es su rentabilidad nominal?
(1 + nominal) = 1,03 × 1,05 = 1,0815, es decir 8,15 % nominal, algo superior a la suma simple de 8 %. La alternativa de 8 % es la suma simple, que omite el término cruzado 0,03 × 0,05 = 0,15 %.
31. ¿Qué ocurre con la rentabilidad real de un instrumento nominal si la inflación supera lo esperado?
La tasa nominal incorpora una expectativa de inflación; si la inflación efectiva la supera, la relación de Fisher implica una tasa real inferior a la anticipada. Un instrumento nominal al 4 % con inflación efectiva de 6 % termina entregando una tasa real de −1,89 %.
32. ¿Qué es una anualidad en matemática financiera?
La anualidad es una serie de flujos constantes y periódicos. Su valor presente se calcula mediante VP = C × [1 − (1 + i)^−n] / i. El término [1 − (1 + i)^−n] / i se conoce como factor de anualidad: con i = 10 % y n = 3 vale 2,486852.
33. ¿Cuál es el valor presente de tres pagos anuales de 100.000 pesos, con una tasa de 10 %?
VP = 100.000 × [1 − (1,10)^−3] / 0,10 = 100.000 × 2,486852 = 248.685 pesos aproximadamente. La alternativa de 300.000 es la suma nominal sin descontar y la de 331.000 el valor futuro de la misma serie.
34. ¿Cuál es el valor presente de cinco pagos anuales de 200.000 pesos, con una tasa de 8 %?
VP = 200.000 × [1 − (1,08)^−5] / 0,08 = 200.000 × 3,992710 = 798.542 pesos aproximadamente. 1.000.000 es la suma nominal de los cinco pagos y 1.173.320 su valor futuro.
35. ¿Cuál es el valor presente de cuatro pagos anuales de 50.000 pesos, con una tasa de 5 %?
VP = 50.000 × [1 − (1,05)^−4] / 0,05 = 50.000 × 3,545951 = 177.298 pesos aproximadamente. 200.000 es la suma nominal y 215.506 el valor futuro de la misma serie.